На математическом факультете ведутся научные исследования по очень широкому спектру направлений: от комплексного анализа до методов оптимального управления, от моделирования экономических процессов до теоретической физики. Имена многих наших ученых известны не только в России, но и за рубежом. Факультет тесно сотрудничает с ведущими российскими и зарубежными научно-исследовательскими институтами и вузами: Объединенным институтом ядерных исследований в г. Дубна, Математическим институтом РАН им. Стеклова, Вычислительным центром РАН, МГУ и другими. Ряд научных проектов, выполняемых на факультете, поддержан грантами Российского фонда фундаментальных исследований и Министерства образования и науки. Преподаватели факультета стремятся как можно шире вовлечь в научную деятельность студентов и аспирантов.

Научные исследования на математическом факультете ТвГУ:

• Геометрическая теория функций
• Теория приближений
• Геометрия
• Математическая логика
• Алгебра
• Теория оптимального управления
• Гидродинамика
• Теория струн, струнные модели адронов
• Математические методы и модели теории гравитации
• Геометрическая теория функций

Геометрическая теория функций является разделом комплексного анализа — анализа функций комплексной переменной. На кафедре математического анализа Тверского госуниверситета комплексный анализ развивается в настоящее время по следующим направлениям:

• Геометрическая теория функций
  С.Ю. Граф, О.Е. Баранова, А.А. Голубев
• Нелинейный анализ
  А.И. Гусев, С.Н. Куженькин

Немного подробнее об одном из развиваемых на кафедре в последнее время направлений геометрической теории функций — динамической теория голоморфных отображений. Еще со времен Ньютона и Лейбница математики активно изучали итерационные процессы, т.е. явления, описываемые простой рекуррентной формулой

z_n +1 = f (z_n )

В частности с помощью такого процесса можно приближенно находить корни различных уравнений. В конце семидесятых годов прошлого века было обнаружено, что с этим процессом для некоторых классов функций связаны геометрические объекты, имеющие необычайно причудливую форму и сложную структуру, которую теперь принято называть фрактальной. Развитие компьютерной графики позволило получить графические изображения таких объектов. С тех пор теория фрактальных явлений активно развивается и нашла многочисленные применения в различных разделах математики, физики, биологии, и даже экономики. Эта теория также широко используется в криптографии и в различных методах обработки и передачи информации.

Основные публикации

1. Шеретов В. ГЛекции по римановым поверхностям. Тверь: Тверской гос.ун-т, 2005. 283 с.
2. Шеретов В. Г.Аналитические и геометрические свойства плоских отображений. Тверь: Тверской гос.ун-т, 2006. 328 с.
3. Шеретов В. Г.Классическая и квазиконформная теория римановых поверхностей. Москва-Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2007. 296 с.
4. Гусев А.И., Порошина О.С. Шеретов В.Г.Аналоги множества Жулиа для комплекснозначных гармонических отображений. // В сборнике «Применение функционального анализа в теории приближений». Тверь. Тверской гос. ун—т. 2008. С.58-60.
5. Гусев А.И., Порошина О.С. Шеретов В.Г.Гармонические отображения и квазифракталы. // В книге Тезисы докладов международной конференции «Дифференциальные уравнения. Теория функций. Теория приближений», посвященной 100-летию со дня рождения С.Л. Соболева. Новосибирск. 2008.
6. Суетин В.Ю., Лалаян Д.Г.Локально-однолистные отображения с генераторами из класса Яновского // Материалы всероссийской конференции «Теория функций и её приложения». Тверь. 2008. C. 59-62.
7. Гусев А.И., Порошина О.С. Шеретов В.Г.Численное моделирование квази- фракталов методами комплексного анализа // Материалы всероссийской конференции «Теория функций и её приложения». Тверь. 2008. C. 95-98.
8. Шеретов В.Г., Суетин В.Ю.О некоторых классах квазиконформных и локально гармонических отображений // Вестник ТвГУ. Серия «Прикладная математика». 2007. № 5 (33). С.79-84.
9. Григорьева В.В., Шеретов В.Г.У истоков комплексного анализа // В сборнике «Применение функционального анализа в теории приближений». Тверь. ТвГУ. 2007. С.6-7.
10. Григорьева В.В., Шеретов В.Г.О гармонических отображениях, ассоциированных с интегралом Кристоффеля-Шварца // В сборнике «Применение функционального анализа в теории приближений». Тверь. ТвГУ. 2007. С.36-37.
11. Суетин В.Ю., Смирнова Ю.И.Об одном двупараметрическом семействе локально однолистных функций // В сборнике «Применение функционального анализа в теории приближений». Тверь. ТвГУ, 2007. С.38-44.
12. Суетин В.Ю., Смирнова Ю.И.О классах локально однолистных функций, ассоциированных с классами Яновского // В сборнике «Применение функционального анализа в теории приближений». Тверь. ТвГУ, 2007. С.44-48.
13. Граф С.Ю.Точная оценка якобиана и порядок линейно-инвариантных семейств гармонических отображений // В сборнике «Применение функционального анализа в теории приближений». Тверь. ТвГУ, 2007. С.29-34

Теория приближений

Теория приближений непрерывных функций алгебраическими и тригонометрическими многочленами является одной из важнейших областей математической теории. Во второй половине двадцатого столетия идеи и методы теории аппроксимации находят свое применение в различных разделах математической науки, особенно прикладного характера. Перестраивается и становится на более широкую и прочную основу фундамент теории приближений, заложенный классическими работами П.Л. Чебышева и К. Вейерштрасса, Ж. Джексона и С.Н. Бернштейна о приближении многочленами непрерывных функций и целых их классов.

Тверская школа по теории приближений и экстремальным задачам складывалась в послевоенное время. Алексею Ивановичу Маркушевичу (1908-1979), который на постоянной основе с 1940 года работал в Калининском государственном педагогическом институте, не оставляя преподавание в МГУ, и прибывшему по распределению из Ленинграда Павлу Петровичу Коровкину (1913-1985), было суждено определить на десятилетия вперед направление научных исследований большой группе тверских математиков. Старшему поколению доктор физико-математических наук, профессор А.И. Маркушевич более известен как министр просвещения РСФСР, вице-президент АПН СССР(1964-1975), крупный организатор школьного образования. Ученики А.И. Маркушевича: Н.А. Давыдов и В.Н. Никольский были в числе руководителей тверской школы по теории приближений. В.Н. Никольский (1923-1984) долгое время возглавлял кафедру математического анализа, был деканом математического факультета, проректором по научной работе, председателем совета по защите кандидатских диссертаций. Занимаясь вопросами наилучших приближений в метрических и нормированных пространствах, он подготовил восемь кандидатов наук. Его ученик А.И. Гусев в настоящее время руководит кафедрой математического анализа. В 1959 году П.П. Коровкин опубликовал монографию «Линейные операторы и теория приближений», в которой доказывается знаменитая теорема «о трех функциях», а созданные им операторные методы приближений функций и суммирования рядов дают новый толчок в развитии теории приближений. П.П. Коровкин подготовил более тридцати кандидатов наук, а его ученики В.А. Баскаков, Г.А. Смирнов, Н.Б. Тихомиров, В.И. Волков, А.В. Волков внесли большой вклад в подготовку молодых специалистов, работая в разные годы на кафедре математического анализа.

Продолжая традиции тверской математической школы по теории приближений, студенты старших курсов на кафедре математического анализа проходят специализацию по теории аппроксимаций. На лекциях и семинарских занятиях студенты знакомятся с классической и современной теорией приближений. Под руководством опытных специалистов кафедры студенты выполняют курсовые и выпускные работы по данному направлению математической теории. После образования на базе КГПИ государственного университета на математическом факультете появился сборник научных трудов «Применение функционального анализа в теории приближения», в котором специалисты из Москвы и Ленинграда (Санкт- Петербурга), Твери и Петрозаводска, Читы и других городов нашей страны на протяжении почти тридцати лет публикуют свои результаты по теории аппроксимации.

В настоящее время в этом направлении работают на кафедре математического анализа кандидат физ.-мат. наук, доцент И.А. Дрожжин, на кафедре функционального анализа и геометрии кандидат физ.-мат. нак, доцент Е.М. Ершова.

Основные публикации

1. Н.Б. Тихомиров.Вопросы теории аппроксимации: аппараты приближения, условия аппроксимации. ТвГУ. Тверь. 2006. 200 с.
2. И.А. Дрожжин.О наилучшем приближении непрерывных функций с ограничениями // Применение функционального анализа в теории приближений: Сб. науч. тр.,Тверь: Изд-во Твер. ун-та, 1998
3. И.А. Дрожжин.Аналог теоремы Колмогорова // Применение функционального анализа в теории приближений: Сб.науч.тр.,Тверь, 1996/
4. И.А. Дрожжин.Характеризация элемента наилучшего приближения при аппроксимации с ограничениями // Применение функционального анализа в теории приближений : Сб. науч. тр.,Тверь, 1993 .
5. А.А.Комаров.Равномерное приближение классов аналитических в единичном круге функций многочленами Тейлора // Применение функционального анализа в теории приближений: Сб. науч. тр.,Тверь: Изд-во Твер. ун-та, 1998 .
6. А.А.Комаров., Л.В. Тайков, В.Г. Шеретов.Об искажении в классах нормированных голоморфных эндоморфизмов единичного круга // Применение функционального анализа в теории приближений: Сб.науч.тр.,Тверь, 1996 Равномерное приближение классов аналитических в единичном круге функций многочленами Тейлора Применение функционального анализа в теории приближений: Сб. науч. тр.,Тверь: Изд-во Твер. ун-та, 1998.
7. А.А.Комаров., Л.В. Тайков.Наилучшие приближения классов гармонических функций // Применение функционального анализа в теории приближений : Сб. науч. тр.,Тверь, 1994.
8. Е.М. Ершова.Экстремальные операторы класса S2 на основе обобщенного ядра Джексона / Прим. функц. анализа в теории приближений. ТвГУ. Тверь. 2008, С. 15-23.
9. Е.М. Ершова.Операторы, промежуточные между операторами Фейера и Джексона / Прим. функц. анализа в теории приближений. ТвГУ. Тверь. 2007, С. 14-17
10. Е.М. Ершова.Линейные положительные операторы типа Джексона / Сб.: Применение функционального анализа в теории приближений. ТвГУ. Тверь. 2006, С. 13-16.
11. Е.М. Ершова.Экстремальные операторы класса S₂ на основе обобщенного ядра Джексона / Сб.: Применение функционального анализа в теории приближений. ТвГУ. Тверь. 2005, С. 88-92.
12. Е.М. Ершова.Асимптотические свойства оператора класса S₂ на основе обобщенного ядра Джексона / Современные методы теории функций и смежные проблемы. Материалы Воронежской зимней математической школы. 2005, С. 89-90.
13. Е.М. Ершова.Операторы классов S_2m на основе ядра Валле-Пуссена / Сб.: Применение функционального анализа в теории приближений. ТвГУ. Тверь. 2004, С. 85-92.
14. Е.М. Ершова.Экстремальные операторы классов S_2m. / Сб.: Применение функционального анализа в теории приближений. ТвГУ. Тверь. 2003, С. 88-93.
15. Е.М. Ершова.Оптимальные операторы классов S₂ и S₄ и их асимптотические свойства. 2002. ТвГУ. Тверь. 2002, с.69-76.
16. Е.М. Ершова.Пример построения оператора класса S₂ методом Коваленко // Применение функционального анализа в теории приближений. 2001
17. Е.М. Ершова.Операторы класса S₂ на основе обобщенного ядра Джексона // Применение функционального анализа в теории приближений. 2001.

Геометрия

Геометрия на кафедре функционального анализа и геометрии представлена несколькими направлениями. В частности, исследования в теории три-тканей возглавляет доктор физ.-мат. наук, профессор А.М.Шелехов.

Теория три-тканей — новое направление в геометрии, связанное с изучением алгебраических свойств геометрических объектов и имеющее приложения в самых разных областях математики и физики.

Рассмотрим простейший пример три-ткани — одномерную три-ткань, образованную тремя семействами линий на плоскости, а именно, двумя семействами координатных линий x = C₁, y = C₂ и семейством линий уровня f(x,y) = C₃ гладкой функции f(x,y) (рис. 1). Если через каждую точку пересечения линий из двух первых семейств проходит линия из третьего семейства, то тем самым на множестве действительных чисел задается алгебраическая операция — любым двум числам x, y ставится в соответствие число z = f(x,y).Алгебраические свойства данной операции (ассоциативность, наличие единицы и др.) оказываются в интересной взаимосвязи с геометрическими свойствами данного объекта. Понятие три-ткани естественным образом обобщается на случай трех семейств линий уровня на плоскости f₁(x,y) = C₁, f₂(x,y) = C₂, f₃(x,y) = C₃(рис. 2), а также на случай много мерных тканей, образованных пересечением нескольких семейств p — мерных поверхностей на некотором многообразии.

Проекты:

Применение геометрических методов исследования нелинейных дифференциальных уравнений, Минобразнаука. 2002-2007 г. Руководитель А.М. Шелехов

Экологические аспекты национальной безопасности при условии возрастания террористических угроз в контексте устойчивого развития, РФФИ 03-06-80196. 2003-2005 г. Руководитель А.М. Шелехов.

Применение геометрических методов исследования нелинейных дифференциальных уравнений, Минобразнаука. 2008-2012 г. Руководитель А.М. Шелехов

Основные публикации:

1. В.Б. Лазарева, А.М. Шелехов.О триангуляции плоскости пучками коник // Математич. сборник, 2007. № 11. Т. 198. С. 107-134.
2. М.А. ШестаковаВычисление тензоров кручения и кривизны шестимерных шестиугольных три-тканей H_S¹ и H_S² . Вестник Тверского гос. ун-та, № 11(39), серия «Прикладная математика», вып.5, Тверь, 2007, с. 39-45.
3. В.Б. Лазарева, А.М. Шелехов.К проблеме классификации регулярных 4-тканей, образованных пучками сфер // Изв. Вузов. Матем. — 2006.- № 11 (516). С. 118-123.
4. А.М. Шелехов.О три-тканях, образованных пучками окружностей// Итоги науки и техн. ВИНИТИ. Современная математика и ее приложения. 2005. Т. 32. С. 7-28.
5. Г.А. Толстихина, А.М. Шелехов.О квазигруппах Бола преобразований// Докл. РАН. 2005. Т. 401. № 2. С. 166-168.
6. Г.А. Толстихина, А.М. Шелехов.О три-ткани Бола, образованной слоениями разных размерностей // Изв. Вузов. Мат. 2005. № 5 (516). С. 56-62.
7. А.М. Шелехов.Криволинейные три-ткани, допускающие однопараметрическое семейство автоморфизмов // Изв. Вузов. Мат.- 2005.- № 5 (516). С. 68-70.
8. Г.А. Толстихина, А.М. Шелехов.Многоточечные инварианты групп преобразований и определяемые ими три-ткани // Известия вузов. Математика, № 11, 2003, С. 82-87.
9. Г.А. Толстихина, А.М. Шелехов.О три-тканях, определяемых группами преобразований // Доклады РАН 2002. Т. 385. № 4. C. 1-3.

Математическая логика

Общие сведение о науке

Математическая логика — это раздел математики, изучающий доказательства и вопросы оснований математики. Известные учёные в области математической логики дают свои уточнения этому определению. Так, С.И. Адян указывает на то, что «предмет современной математической логики разнообразен». Согласно определению П.С. Порецкого, «математическая логика есть логика по предмету, математика по методу». Согласно определению Н.И. Кондакова, «математическая логика — вторая, после традиционной логики, ступень в развитии формальной логики, применяющая математические методы и специальный аппарат символов и исследующая мышление с помощью исчислений (формализованных языков).» Это определение соответствует определению С.К. Клини: математическая логика — это «логика, развиваемая с помощью математических методов». Так же А.А. Марков определяет современную логику «точной наукой, применяющей математические методы». Все эти определения не противоречат, но дополняют друг друга.

Применение в логике математических методов становится возможным тогда, когда суждения формулируются на некотором точном языке. Такие точные языки имеют две стороны: синтаксис и семантику. Синтаксисом называется совокупность правил построения объектов языка (обычно называемых формулами). Семантикой называется совокупность соглашений, описывающих наше понимание формул (или некоторых из них) и позволяющих считать одни формулы верными, а другие — нет.

Математическая логика на факультете

На кафедре функционального анализа и геометрии работают специалисты, занимающиеся научными исследованиями в области математической логики. Они же ведут занятия по дисциплинам, связанным с математической логикой, руководят научной работой студентов, выбравших для себя эту науку в качестве специализации.

• Чагрова Лилия Алексеевна
  Кандидат физико-математических наук, доцент. В настоящее время является доцентом кафедры алгебры и математической логики. Имеет несколько крупных научных достижений в области математической логики, наиболее известным из которых является решение основных проблем теории соответствий. Является участником нескольких научных проектов, автором нескольких десятков научных работ, некоторые из которых опубликованы в ведущих зарубежных изданиях, руководит научно-исследовательской работой студентов, является постоянным участником семинара по математической логике в ТвГУ.
• Рыбаков Михаил Николаевич
  Кандидат физико-математических наук, в настоящее время является доцентом кафедры алгебры и математической логики. К его научным достижениям относится решение вопросов об алгоритмической сложности т.н. пропозициональных логик с конечным числом переменных. Имеет более двадцати опубликованных работ по логике, в т.ч. в центральных и зарубежных изданиях. Участвует в нескольких научных проектах, руководит научно-исследовательской работой студентов, является постоянным участником семинара по математической логике в ТвГУ.
• Горбунов Игорь Анатольевич
  Кандидат физико-математических наук, в настоящее время является доцентом кафедры алгебры и математической логики. К его научным результатам относится решение вопросов о существовании классов логик, не имеющих независимого описания. Имеет более десяти опубликованных работ, в том числе в центральной и зарубежной печати, является участником нескольких научных проектов, руководит научно-исследовательской работой студентов, является постоянным участником семинара по математической логике в ТвГУ.

Курсы лекций по математической логике

В зависимости от выбранного направления обучения или получаемой специальности студенты математического факультета изучают различные дисциплины, связанные с математической логикой. Список этих дисциплин приведён ниже:

• основы математической логики;
• математическая логика;
• математическая логика и теория алгоритмов;
• прикладные задачи математической логики и теории алгоритмов;
• дискретная математика;
• теория вычислительной сложности;
• теория алгоритмов.

Специализация по математической логике

Студенты, желающие глубже изучить математическую логику, имеют возможность сделать это в рамках специализации «Математическая логика и теория алгоритмов». Студенты, обучающиеся по направлению «Компьютерная безопасность» не имеют возможности специализироваться по этой специальности, но могут выбрать темы курсовых и выпускных работ, связанные с математической логикой.

Сотрудничество с научными центрами

Сотрудники кафедры АиМЛ поддерживает научные связи со следующими научными центрами:

В России и ближнем зарубежье

• МГУ (кафедра математической логики и теории алгоритмов, кафедра логики)
• Институт проблем передачи информации РАН
• Московский центр непрерывного математического образования (МЦМНО)
• Институт математики им. В.А.Стеклова РАН
• Сибирский федеральный университет (Красноярск)
• Новосибирский государственный университет
• Институт математики СО РАН
• Ярославский государственный университет им. П.Г.Демидова
• Институт кибернетики Академии Наук Грузии
• Институт математики с вычислительным центром Академии Наук Молдовы

Вне СНГ:

• Франция (Тулуза, Париж)
• Болгария (София)
• Голландия (Амстердам)
• Польша (Варшава)
• Англия (Лондон, Манчестер, Лидс)
• Япония (Хиросима)
• США (Индиана)
• ЮАР (Йоханнесбург)

Научные проекты

Сотрудники факультета участвовали и участвуют в научных проектах по логике, поддержанных различными российскими и зарубежными фондами. Часть из этих проектов выполнялась или выполняется на базе Тверского госуниверситета. Ниже перечислены проекты, поддержанные фондами исследований начиная с 2001 года.

Алгебра

Общие сведение о науке

Алгебра — один из больших разделов математики, принадлежащий наряду с арифметикой и геометрией к числу старейших ветвей этой науки. Алгебра возникла под влиянием нужд общественной практики, в результате поисков общих приёмов для решения арифметических задач. Эти приёмы обычно включали составление и решение уравнений с использованием символических обозначений и операций над символами, заменяющими какие угодно конкретные числа.

Современная алгебра, сформировавшаяся в результате многовековой эволюции этого направления математики, понимается сегодня как учение об операциях над любыми математическими объектами. Современная алгебра наряду с топологией является одной из фундаментальных наук, формирующих общие понятия и методы для всей математики. Для алгебры характерно то, что в центре внимания оказываются свойства операций, а не объектов, над которыми производятся эти операции.

Свойства операций над математическими объектами в разных ситуациях иногда оказываются совершенно различными, иногда одинаковыми, несмотря на различие объектов, таких как, например, числа, векторы, многочлены, функции, отображения и др. Отвлекаясь от природы объектов, но фиксируя определённые свойства операций над ними, мы приходим к понятию множества, наделённого алгебраической структурой, или алгебраической системы. Потребности развития науки вызвали к жизни целый ряд содержательных алгебраических систем: полугруппа, моноид, группа, кольцо, поле, векторное пространство, модуль и т.д. Предметом современной алгебры в основном является исследование сложившихся алгебраических систем, исследование свойств алгебраических систем вообще, на основе ещё более общих понятий, а также применения алгебраических методов к другим разделам математики и естествознания (топология, функциональный анализ, теория чисел, алгебраическая геометрия, теоретическая физика, кристаллография и т. д.).

Алгебра на факультете

На математическом научные исследования в различных разделах алгебры ведёт

• Некрасов Константин Геннадьевич
  Кандидат физико-математических наук, в настоящее время является доцентом кафедры алгебры и математической логики. Область научных интересов: конечные группы, подгруппы Фраттини конечных групп.

Теория оптимального управления

«Управление есть характеристическое свойство жизни в широком смысле… при этом передача небольших масс или порций энергии вызывает действия, состоящие в передаче или переработке гораздо больших порций энергии или масс…»
А.А.Ляпунов

Задачи оптимального управления имеют обширные приложения в технике, физике, биологии, медицине, экономике. В настоящее время активно развивается математическая теория оптимального управления для систем с фазовыми и смешанными ограничениями, с запаздыванием, интегро-дифференциальными уравнениями.

Математические модели это упрощенные версии реального мира, которые выделяют основные черты реальности. Это позволяет использовать абстрактную математическую модель для анализа и предсказания или прогноза тех или иных явлений, выявления общих закономерностей.

В настоящее время возрос интерес к проблемам математического моделирования, что выражается в огромном числе публикаций по теоретическим и прикладным математическим моделям, которые описываются системами обыкновенных дифференциальных уравнений, дифференциальными уравнениями с разрывной правой частью и запаздыванием в аргументе функции состояния и управления и др.

На кафедре компьютерной безопасности и математических методов управления исследуются следующие управляемые модели:

• задачи оптимального управления процессом распространения эпидемии, в котором управление процессом осуществляется с помощью вакцинации, карантина и программы здоровье;
• модели нейронных сетей с различной структурой и процесс их обучения. Исследуются нейронные сети с обратной связью, применение нейронных сетей в распознавании образов, звуковых сигналов, прогнозирование временных рядов и др.;
• экономические модели микро- и макроэкономики, модели сохранения и использования природных ресурсов;
• задачи, связанные с информационной безопасностью сетей, защитой информации и криптографией.

Ведущий специалист в области оптимального управления доктор физ.-мат. наук, профессор Е.А. Андреева,
зав. кафедрой компьютерной безопасности и математических методов управления.

Наряду с непрерывными задачами оптимального управления большое внимание уделяется исследованию дискретных задач оптимального управления, имеющих обширные приложения в экономике, технике, исследовании операций и т.д. Это связано с выросшей сложностью управляемых процессов и тем фактом, что информацию о состоянии той или иной системы получают в дискретные моменты времени. Исторически теория дискретных процессов развивалась вслед за принципом максимума Л.С.Понтрягина для непрерывных задач оптимального управления, что привело к попыткам сформулировать дискретный аналог принципа максимума.

Основные публикации

1. Андреева Е.А.Оптимальное управление системами с запаздывающим аргументом // Автоматика и телемеханика. — № 11, 1987. — С. 30-39.
2. Андреева Е.А.Compertitive running on a Hilly Track. Numerical Mathematics. 1998, vol. 124. Birkhauser Verlag, Basel.
3. Андреева Е.А. Евтушенко Ю.Г.Численные методы решения задач оптимального управления для систем, описываемых интегрогальными и интегродифференциальными уравнениями// Математические моделирование. — М., 1989.
4. Андреева Е.А.Достаточные условия оптимальности для разрывной задачи оптимального управления с запаздыванием// Автоматика и телемеханика. — 1989. — № 7. — С. 59-66.
5. Андреева Е.А., Колмановский В.Б., Шайхет Л.Е.Управление системами с последействием. Москва. Наука. — 1992. 333 с.
6. Андреева Е.А.Оптимальное управление системами с запаздывающим аргументом // Автоматика и телемеханика. — № 11, 1987. — С. 30-39.
7. Андреева Е.А.Достаточные условия оптимальности для разрывной задачи оптимального управления с запаздыванием// Автоматика и телемеханика. — 1989. — № 7. — С. 59-66.
8. Андреева Е.А.Оптимальное управление динамическими системами. Часть I. Тверь: ТвГУ. 1999.
9. Андреева Е.А.Оптимальное управление динамическими системами. Часть II. Тверь: ТвГУ. 1999.
10. Андреева Е.А., Пустарнакова Ю.А.Численный метод обучения искусственных нейронных сетей с учетом запаздывания. Журнал вычисл. Матем. и матем. физики. 2002. Т. 42. № 9. С. 1436-1444.

Гидродинамика

В настоящее время это направление представлено исследователями:

• Ю.В. Шеретов
  доктор физ.-мат. наук, профессор кафедры математического анализа
• И.Ш. Могилевский
  кандидат физ.-мат. наук, доцент кафедры функционального анализа и геометрии

Математический анализ квазигидродинамических уравнений

Юрий Владимирович Шеретов, окончив в 1988 г. Московский физико-технический институт по специальности «аэродинамика и термодинамика», обучался в аспирантуре МФТИ (1988-1991 гг.) под руководством доктора физико-математических наук, профессора (ныне академика РАН) Б. Н. Четверушкина и доктора физико-математических наук Т. Г. Елизаровой. Кандидатскую диссертацию «Численное моделирование сверхзвуковых течений газа на основе квазигазодинамических уравнений» защитил в МФТИ в 1991 г. по специальности 01.01.07 — Его докторская диссертация «Математическое моделирование течений жидкости и газа на основе квазигидродинамических и квазигазодинамических уравнений» была защищена в ТвГУ в 2001 г. по специальности 05.13.18 — математическое моделирование, численные методы и комплексы программ. Ю. В. Шеретов предложил феноменологический вывод новой квазигидродинамической системы уравнений, описывающей течения жидкости и газа. Исследовал глубокие связи квазигидродинамической и квазигазодинамической систем с классическими уравнениями Навье-Стокса. Разработал несколько эффективных алгоритмов в вычислительной аэро- и гидродинамике.

Основные публикации

1. Шеретов Ю.В.Математическое моделирование течений жидкости и газа на основе квазигидродинамических и квазигазодинамических уравнений. Тверь: Тверской гос. ун—т, 2000. 235 с.
2. Шеретов Ю.В.Динамика сплошных сред при пространственно — временном осреднении. Москва—Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2009. 400 с.
3. Elizarova T.G., Khokhlov A.A., Sheretov Yu.V. Quasi–Gasdynamic Numerical Algorithm for Gas Flow Simulations // Intern. J. Numer. Meth. in Fluids. 2008. V. 56. P. 1209–1215.
4. Шеретов Ю.В. Вариационные принципы для стационарных квазигидродинамических уравнений в приближении Стокса // Применение функционального анализа в теории приближений. Тверь: ТвГУ, 2008. С. 79–85.
5. Шеретов Ю.В. О свойствах решений квазигидродинамических уравнений в баротропном приближении // Вестник ТвГУ. Сер. “Прикл. матем.” 2009. Вып. 14. С. 5–19.
6. Шеретов Ю.В. Об общих точных решениях уравнений Навье-Стокса, Эйлера и квазигидродинамических уравнений // Вестник ТвГУ. Сер. “Прикл. матем.” 2010. Вып. 17. С. 41–58.
7. Шеретов Ю.В. Квазигидродинамические уравнения и аналитические   функции // Применение функционального анализа в теории приближений. Тверь: Тверской гос. ун-т, 2010. c. 61–68.
8. Шеретов Ю.В. Единственность классического решения основной начально-краевой задачи для квазигидродинамических уравнений // Вестник ТвГУ. Сер. “Прикл. матем.” 2011. Вып. 20. С. 7–20.
9. Шеретов Ю.В. Методы построения точных решений квазигидродинамических уравнений // Вестник ТвГУ. Сер. “Прикл. матем.” 2011. Вып. 21. С. 5–26.
10. Шеретов Ю.В. Единственность решения квазигидродинамических уравнений в приближении мелкой воды  // Вестник ТвГУ. Сер. “Прикл. матем.” 2011. Вып. 22. С. 7–28.
11. Сухомозгий А.А., Шеретов Ю.В. Квазигидродинамические уравнения и гармонические функции // Вестник ТвГУ. Сер. “Прикл. матем.” 2011. Вып. 23. С. 19–24.
12. Шеретов Ю.В. Уравнения Максвелла с диссипацией // Применение функционального анализа в теории приближений. Тверь: ТвГУ, 2012. С. 82–90.
13. Сухомозгий А.А., Шеретов Ю.В. Единственность решения регуляризованных уравнений Сен–Венана в линейном приближении // Вестник ТвГУ. Сер. “Прикл. матем.” 2012. Вып. 24. С.  5–17.
14. Сухомозгий А.А., Шеретов Ю.В. Тестирование нового алгоритма расчета одномерных нестационарных течений жидкости со свободной границей // Вестник ТвГУ. Сер. “Прикл. матем.” 2012. Вып. 27. С.  47–64.
15. Сухомозгий А.А., Шеретов Ю.В. Анализ устойчивости одной разностной схемы решения уравнений Сен–Венана в теории мелкой воды // Применение функционального анализа в теории приближений. Тверь: ТвГУ, 2013. С. 48–60.
16.  Сухомозгий А.А., Шеретов Ю.В. Об одной разностной схеме решения уравнений Сен–Венана в теории мелкой воды. Сборн. научн. тр. Международн. научн. конф. «Разностные схемы и их приложения», посвя-щенной 90–летию проф. В.С. Рябенького. М.: ИПМ им. М.В. Келдыша РАН, 2013. С. 107–108.
17. Cухомозгий А.А., Шеретов Ю.В. Использование регуляризованных уравнений Сен–Венана для построения вычислительных алгоритмов решения двумерных нестационарных задач теории мелкой воды. Материалы Третьей российской школы-конференции «Математика, информатика, их приложения и роль в образовании» с международным участием для молодых ученых. Тверь: Твер. гос. ун-т, 2013. С. 129–134.
18. Шеретов Ю.В. Об общих точных решениях систем Эйлера, Навье–Стокса и квазигидродинамической системы для плоских установив-шихся течений // Вестник ТвГУ. Сер. “Прикл. матем.” 2013. Вып. 2. С. 29–36.
19.  Шеретов Ю.В. Об общих точных решениях систем Эйлера, Навье–Стокса и квазигидродинамической системы для пространственных установившихся течений // Вестник ТвГУ. Сер. “Прикл. матем.” 2013. Вып. 3. С. 5–18.
20. И.Ш. Могилевский.Численное исследование плоского стационарного течения жидкости со свободной границей // Тезисы докл. междунар. конф. «Свободные границы: теория, эксперимент, приложения», Бийск, 2008, с. 21.
21. I. MogilevskiyThe numerical investigation of a plane stationary flow with a free boundary // International conference Parabolic and Navier-Stokes equations, Poland, Aug.-Sept. 2008, p. 19.
22. И.Ш. Могилевский, В.И. Охота.Метод конечных элементов для задачи о плоском стационарном течении жидкости со свободной границей / Вестник ТвГУ, серия «Прикладная математика», № 11(39), 2007, с. 47-60.
23. И.Ш. Могилевский.Finite element approach to the plane stationary flow with free boundary // Тезисы доклада на междунар. конф. «Mathematical Hydrodynamics», Москва, Математический ин-т РАН им.В.А.Стеклова, 2006, с.47-48.
24. I. Mogilevskii.An investigation of a free boundary problem to the stationary Navier-Stokes equations by the finite element method // Тезисы доклада на междунар. конф. «Parabolic and Navier-Stokes equations», The Banach center conference, Bedlewo, Poland, 2006, с. 35
25. I.Mogilevski.Two stationary problems for quasi-newtonian fluids// International conference «Trends in partial differential equations». Obidos (Portugal) 2003.
26. И.Ш. Могилевский.Об установившемся движении тонкого слоя неньютоновской жидкости над твердой поверхностью // Всероссийская конференция «Теория и приложения задач со свободными границами. Бийск, 2002.
27. I.Mogilevskii.On a steady flow of a thing layer of a non-Newtonian fluid with free boundary over a rigid surface // International conference «Navier-Stokes equations and related topics». St.-Petersburg, 2002.

Теория струн, струнные модели адронов

Это направление представляет доктор физ.-мат. наук, профессор Г.С. Шаров,

зав. кафедрой функционального анализа и геометрии

Теория струн — бурно развивающееся направление в теоретической и математической физике, которое опираетсяна новейшие достижения в геометрии и других разделах современной математики. Исследователи, работающие в ряде областей теории струн, ставят перед собой амбициозную задачу — построение единой теории всех физических взаимодействий.

Струны, называемые также релятивистскими струнами, или струнами Намбу-Гото, возникли впервые в физике элементарных частиц около 30 лет и с тех пор с успехом используются этой области. Релятивистской струной называется одномерный протяженный объект (отрезок кривой) с постоянным натяжением и линейной плотностью энергии. Движение струны определятся действием, пропорциональным площади заметаемой струной поверхности (мировой поверхности) в пространстве-времени Минковского. На рис. 1 показана такая поверхность для случая равномерного вращения прямолинейной струны. Струна моделирует сильное взаимодействие между кварком и антикварком в мезоне (модель 1 на рис. 2) или между тремя кварками в барионе. Различные струнные модели бариона представлены на рис. 2. Струнные модели естественным образом описывают конфайнмент (невылетание кварков) в мезонах и барионах, а также соотношение между энергией и угловым моментом для возбужденных состояний этих частиц.

роекты РФФИ

Струнные модели мезонов и барионов, РФФИ 00-02-17359. Руководитель Г.С. Шаров

Струнные модели адронов с описанием кварковых и глюонных степеней свободы, РФФИ 05-02-16722. Руководитель Г.С. Шаров

Основные публикации

1. Г.С. Шаров.Струнные модели глюбола, ротационные состояния и траектории Редже // Ядерная физика 2008. Т. 71. № 3. C. 598-605.
2. Г.С. Шаров.Устойчивость центральных состояний замкнутой струны с массивными точками // Вестник ТвГУ. Сер. Прикладн. матем. Тверь. 2008, № 4 (64), Вып. № 8. С. 37-50.
3. Г.С. Шаров.Спектр состояний замкнутой струны, нагруженной массивными точками // Вестник ТвГУ. Сер. Прикладн. матем. Тверь. 2007, № 5 (33), Вып. № 4. С. 21-27.
4. А.Е. Миловидов, Г.С. Шаров.Замкнутые релятивистские струны в пространствах с нетривиальной геометрией // Теоретич. и математич. физика. 2005. Т. 142. № 1. С. 72-82.
5. Г.С. Шаров.Возмущенные состояния вращающейся релятивистской струны // Теоретич. и математич. физика. 2004. Т. 140. № 2. C. 256-268.
6. Г.С. Шаров.Неустойчивость струнной модели бариона Y в рамках классической динамики // Ядерная физика 2002. Т. 65. № 5. C. 938-948.
7. A. Inopin, G.S. Sharov.Hadronic Regge Trajectories: Problems and Approaches // Physical Review D. 2001, V. 63, № 5, P. 054023.
8. G.S. Sharov.Quasirotational motions and stability problem in dynamics of string hadron models // Physical Review D. 2000, V. 62, № 9, P. 094015.
9. Г.С. Шаров.Cтрунные модели бариона и траектории Редже // Ядерная физика 1999. Т. 62. № 10. C. 1831-1843.
10. В.П. Петров, Г.С. Шаров.Исследование динамики струнной модели бариона с линейным расположением кварков // Математич. моделирование. 1999. Т. 11. № 7. C. 39-54.
11. G.S. Sharov.String baryonic model «triangle’’: Hypocycloidal solutions and the Regge trajectories // Physical Review D. 1998, V. 58, № 11. P/ 114009.

Математические методы и модели теории гравитации

На кафедре математических методов современного естествознания это направление представляют:

 математической точки зрения пространство-время – четырёхмерное псевдориманово многообразие, метрика которого удовлетворяет уравнениям Эйнштейна, а гравитация – проявление кривизны многообразия. Кафедра ведет исследования в области разработки и применения в теории гравитации методов дифференциальной геометрии и топологии, тензорного анализа на многообразиях, теории групп и алгебр Ли, а также в области математического моделирования гравитирующих конфигураций микро- и макромира.

Простейшим примером математической модели теории гравитации является статическое сферически-симметричное пространство-время Шварцшильда. На рис.1 приведена диаграмма Крускала этого решения. Пространство-время содержит область (II), где гравитация столь сильна, что даже луч света не может покинуть её пределы. Такая область называется чёрной дырой, а её граница – горизонтом событий. Астрономические наблюдения последних двадцати лет подтверждают существование черных дыр как в двойных системах, так и в центрах галактик. На рис.2 можно увидеть изображение сверхмассивной чёрной дыры (точнее, падающего на неё вещества) в центре галактики M100.

дним из ведущих направлений в исследованиях является математическое моделирование самогравитирующих конфигураций физических полей. Проводимые на кафедре исследования позволили получить ряд новых решений, регулярных и с горизонтом событий, обладающих интересными свойствами и нетривиальной топологией пространства-времени. Это так называемые кротовые норы и топологические геоны. Важное место в исследованиях занимают гравитирующие скалярные поля, которые в настоящее время рассматриваются как основа для описания новой формы материи небарионного типа – холодной тёмной материи. Ограничения сверху на интенсивность взаимодействия массивных частиц тёмной материи с известными частицами показывают, что тёмная материя, по-видимому, наиболее адекватно моделируется вещественным скалярным полем, которое участвует только в гравитационном взаимодействии.

Основные публикации

1. Ju.V. Tchemarina, A .N. Tsirulev Spherically Symmetric Gravitating Scalar Field. The Inverse Problem and Exact Solutions // Gravitation and Cosmology. – 2009. V. 15. № 1. – P. 94 – 95.
2. А.А. Семыкин, А.Н. Цирулёв Математическое моделирование гравитационного коллапса скалярного поля ковариантными рядами в нормальных координатах // Вестник ТвГУ. Сер. «Прикладная математика». – 2009. №8. – С. 5 – 16.
3. V.V. Nikonov, Ju.V. Tchemarina, A.N. Tsirulev A two-parameter family of exact asymptotically flat solutions to the Einstein-scalar field equations // Class. Quant. Grav. – 2008. Vol. 25. – 138001.
4. А.Н. Цирулев, Ю.В. ЧемаринаСферически-симметричные топологические геоны // Вестник ТвГУ. Сер. «Прикладная математика». – 2007. №17(45). – С. 59 – 68.
5. В.В. Никонов, А.Н. Цирулев, Ю.В. Чемарина Асимптотически-плоские решения уравнений Эйнштейна для гравитирующего сферически-симметричного скалярного поля // Вестник ТвГУ. Сер. «Прикладная математика». – 2007. №5(33). – С. 11 – 20.
6. В.В. Никонов, А.Н. Цирулев, Ю.В. Чемарина Спектральная краевая задача для гравитирующего скалярного поля в пространстве-времени с топологией R&timesR³#RP³ // Вестник ТвГУ. Сер. «Прикладная математика». – 2006. №4(21). – С. 106 – 113.
7. A.N. TsirulevCurvature decomposition and the Einstein-Yang-Mills equations // Particles and Nuclei, Letters. – 2004. V. 119. – P. 28 – 36.
8. А.Н. ЦирулёвАналитическое продолжение тензорных полей ковариантными рядами Тейлора // Теоретическая и математическая физика. – 1995. Т. 102. – C. 337 – 344.